Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Bijection continue
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Bijection continue
Enoncés
Exercice 1[ 01816 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie par
x
f(x 1) = +|x|
a) Montrer quefréalise une bijection deRvers]−11[.
b) Déterminer, poury∈]−11[une expression def−1(y)analogue à celle def(x).
Exercice 2[ 01817 ][correction]
Soienta < b∈Retf: ]a b[→Rune fonction strictement croissante.
i, et seulement si,=lialibmf
Montrer quefest continue sf(]a b[) mf
Exercice 3X PC[ 03105 ][correction]
Soitαun réel compris au sens large entre 0 et1e.
a) Démontrer l’existence d’une fonctionf∈ C1(RR)vérifiant
∀x∈R f0(x) =αf(x+ 1)
.
b) Siα= 1e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la
relation précédente.
Exercice 4[ 03401 ][correction]
Soitf: [0+∞[→[0+∞[continue vérifiant
Déterminerf.
f◦f=Id
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) Sur[0+∞[,
f(x)1x+x= 1−+11x
=
est continue et strictement croissante,f(0) = 0etl+im∞f= 1.
Ainsifréalise une bijection de[0+∞[vers[01[.
Sur]−∞0[,
f(x 1) =xx=−111+−x
−
est continue et strictement croissante,limf= 0etlimf=−1.
0−∞
Ainsifréalise une bijection de]−∞0[vers]−10[.
Finalement,fréalise une bijection deRvers]−11[.
b) Poury∈[01[, son antécédentx=f−1(y)appartient à[0+∞[.
y=f(x)⇔y= 1 +xx⇔x=1−yy
Poury∈]−10[, son antécédentx=f−1(y)appartient à]−∞0[.
Finalement,
y=f(x)⇔y1=−xx⇔x= 1 +yy
∀y∈]−11[,f−1(y 1) =−y|y|
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
Notons queliamfetlibmfexistent carfest croissante.
(⇒)Supposonsfcontinue.
Puisquefest continue et strictement croissante,fréalise une bijection de]a b[
surliamflibmfd’où le résultat.
(⇐)Supposonsf(]a b[) =liamflimf.
b
Soitx0∈]a b[. On alimf < f(x0)<libmf.
a
Pour toutε >0, soity+∈]f(x0) f(x0) +ε]∩liamflibmf. Il existex+∈]a b[
+
tel quef(x+) =y.
2
Soity−∈[f(x0)−ε f(x0)[∩liamflibmf. Il existex−∈]a b[tel que
−
f(x−) =y.
Puisquefest croissante,x−< x0< x+. Posonsα= min(x+−x0 x0−x−)>0.
Pour toutx∈]a b[, si|x−x0|6αalorsx−6x6x+doncy−6f(x)6y+d’où
|f(x)−f(x0)|6ε.
Ainsifest continue enx0puisfcontinue sur]a b[.
Exercice 3 :[énoncé]
a) Cherchonsfde la forme
f(x) = eβx
Après calculs, siα=βe−βalorsfest solution.
En étudiant les variations de la fonctionβ7→βe−β, on peut affirmer que pour
toutα∈[01e], il existeβ∈R+tel queβe−β=αet donc il existe une fonction
fvérifiant la relation précédente.
b) Pourα= 1e, les fonctionsx7→exetx7→xexsont solutions.
Notons que pourα∈]01e[il existe aussi deux solutions linéairement
indépendantes car l’équationβe−β=αadmet deux solutions, une inférieure à 1 et
l’autre supérieure à 1
Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionfest bijective et continue donc strictement monotone. Elle ne peut
tre décroissante car alors elle ne serait pas surjective sur[0+∞[, elle est donc
strictement croissante.
S’il existe unx∈[01]tel quef(x)< xalors, par stricte croissance
f(f(x))< f(x)
et doncf(f(x))< xce qui contreditf◦f=Id. De mmef(x)> xest impossible
et doncf=Id.
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