Sujet : Analyse, Intégrales doubles, Intégration en coordonnées polaires
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Intégration en coordonnées
Exercice 1
Calculer
polaires
[ 01951 ][correction]
I=Z ZDcos(x2+y2)dxdy
oùDest le disque de centreOet de rayonR.
Exercice 2
Calculer
[ 01952 ][correction]
Z Z
sin(x2+y2) dxdy
D
oùDdésigne le disque de centreOet de rayon√π.
Exercice 3
Calculer
[ 01953 ][correction]
I=Z ZDx+x2p+xy2dxdy
2+y2
oùDest le quart de disque unité inclus dansR+×R+.
Exercice 4[ 01954 ][correction]
Calculer
Z ZDdxdy
x
oùDdésigne le domaine borné délimité par la cardioïde d’équation polaire
ρ= 1 + cosθ.
Exercice 5
Calculer
[ 01957 ][correction]
oùD=(x y)∈R2x
Z Z
xdxdy
D
2+y−x60.
2
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
En passant aux coordonnées polaires
I=Zθ2=π0ZρR=0rcos(r2) drdθ= 2πsin12r20R=πsinR2
Exercice 2 :[énoncé]
En coordonnées polaires
Z ZDsin(x2+y2) dxdy=Zθ=2π0Zρ=√0πρsinρ2dρdθ= 2π
Corrections
Exercice 3 :[énoncé]
En passant aux coordonnées polaires
r2
I=Z0π2Z01rcosθ+r rdrdθ=Z0π2osc31θ+1d1θt=ta=nθ232Z10d2t1=3
Exercice 4 :[énoncé]
En coordonnées polaires
Z Zxdxdy=Zθ=π−πZρocs+1=0θρ2cosθdρdθ=13Z−ππcosθ(1 + cosθ)3dθ
D
Sachant
π
Zcos2θdθ=π
−π
et
πin22 3π
Z−ππcos4θdθ=Zπcos2θdθ−41Z−ππsθdθ4=
−
on obtient
Z ZDxdxdy5=4π
Exercice 5 :[énoncé]
On peut décrireDen coordonnées polaires
On a alors
Z Z
D={(rcosθ rsinθ)θ∈[−π2 π2]06r6cosθ}
xdxdy
D
rdrdθ= 1π2
=Z−ππ22Zcos0θrcosθ3Z−π2cos4θdθ=π8
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
