Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Coefficients de Fourier
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Coefficients
de
Fourier
Exercice 1[ 03492 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction continue par morceauxπ-périodique.
On notean(f)etbn(f)les coefficients de Fourier defcomprise comme une
fonction2π-périodique.
Montrer que
∀n∈N a2n+1(f) =b2n+1(f) = 0
Exercice 2[ 00950 ][correction]
Soitf:R→Ccontinue et2π-périodique.
Montrer quefest constante si, et seulement si,
∀n∈Z?,cn(f) = 0
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
On a
a2n+1(f) =π1Z−ππf(t) cos((2n+ 1)t) dt
En coupant l’intégrale en 0 et en procédant à une translation
π
a2n+1(f 1) =Zf(t) (cos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+π))) dt
π0
car la fonctionfestπ-périodique.
Puisque
cos((2n+ 1)t) + cos((2n+ 1)(t+π)) = 0
on peut conclure
On montre de mme
Exercice 2 :[énoncé]
(⇒) immédiat par calcul.
(⇐) Si
a2n+1(f) = 0
b2n+1(f) = 0
∀n∈Z?,cn(f) = 0
Corrections
alors la série de Fourier defest uniformément convergente et puisqu’elle converge
en norme quadratique versf, la limite uniforme de la série de Fourier defne
peut tre quef.
Ainsi la fonctionfest constante.
2
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