Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Développement en série de Fourier

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Développement en série de Fourier

Exercice 1[ 00951 ][correction]
Soitfune fonction continue2πpériodique.
On suppose que la série de Fourier defconverge uniformément. Montrer que
cette convergence a lieu vers la fonctionf.

Enoncés

Exercice 2[ 00952 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction régularisée,2πpériodique, impaire, constante égale à 1
sur]0 π[.
a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques.
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier versf.
c) En déduire
+∞1
p=+X∞02(p−+1)p1etpX=0(2p+ 1)2

d) Calculer

+∞1+∞(−1)n−1
Xn2etXn2
n=1n=1

Exercice 3[ 00953 ][correction]
Soitf:R→Rl’application2πpériodique, paire, telle que

∀x∈[0 π] f(x) =x

a) Calculer la série de Fourier def.
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier de
c) Déterminer
k=+X∞0(2k1)+12etk=+X∞0(2k)+114

d) En déduire

+X∞1et+X∞n14
n2
n=1n=1

f.

Exercice 4[ 03176 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction paire,2π-périodique, définie par
f(t) =48xx2π−−π32π2−4x2sinisxon∈[0 π2]

a) Montrer quefest de classeC1et calculer exprimer sa dérivée.
b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonctionf.
c) En déduire la valeur de
+∞n
n=X02((n−)+11)3

Exercice 5[ 00954 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) =|cosx|

a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques def.
b) En déduire la valeur
−
+X∞4(n12)−n+11
n=1

Exercice 6[ 00955 ][correction]
Soitf:R→C,2π-périodique, impaire et vérifiant

f(t) =π2−tsur]0 π]

a) Préciser la convergence de la série de Fourier def. La convergence est-elle
uniforme ?
b) Calculer la série de Fourier def.
c) En déduire la convergence et la valeur de

d) Calculer

+X∞sinn
n
n=1

+X∞12
n
n=1

1

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Exercice 7CCP MP[ 00956 ][correction]
Soit la fonctionf:R→R2πpériodique définie par

∀x∈]−π π],f(x) = ex

a) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels def.
b) En déduire la valeur des sommes

+∞
e
n+X∞0(n2−+1)n1tnX=0n2+11
=

Exercice 8[ 00957 ][correction]
Soientα∈RZetf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) = cos(αx)sur]−π π]

a) Déterminer les coefficients de Fourieranetbndef.
b) En déduire les valeurs des sommes

+X∞(n−21−)nα−12et+X∞n21−α2
n=1n=1

c) En déduire enfin la valeur de

+∞1
Xn2
n=1

Exercice 9CCP MP[ 03695 ][correction]
Soitαun réel non entier etfla fonction2π-périodique donnée par

∀t∈]−π π] f(t) = cos(αt)

a) Montrer quefest égale à sa somme de Fourier en précisant le type de
convergence de celle-ci.
b) Calculer la somme de Fourier def.

Exercice 10CCP MP[ 03598 ][correction]
Soientα∈RZetf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(t) = cos(αt)sur]−π π]

Enoncés

a) Montrer quefadmet une série de Fourier convergente surR.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier def.
c) Pour toutx ∈πZ, montrer l’égalité

1∞2x
xXx2−(nπ)2
cotanx= +
n=1

Exercice 11[ 00958 ][correction]
Soientα∈R?etf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) =ch(αx)sur]−π π]

a) Déterminer les coefficients de Fourieranetbndef.
b) En déduire les valeurs des sommes

+∞
n+X=∞1n(2−+1)αn2etX=1n2+1α2
n

Exercice 12CCP MP[ 00959 ][correction]
a) Domaine de définition de

S(t) =+X∞1?
k2−t2
k=0

b) Calculer les coefficients de Fourieranetbndef(x) = cos(αx)définie sur
[−π π]avecα∈RZ.
c) Sur quel domainef ?coïncide avec son développement en série de Fourier
d) En déduire une expression deS(t).

Exercice 13[ 00960 ][correction]
Existe-t-il une suite(αn)de réels telle que

+∞
∀t∈[0 π],sint=Xαncos(nt)?
n=0

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Exercice 14[ 00961 ][correction]
La série de Fourier de la fonctionfpaire2π-périodique qui vaut√xpour
x∈[0 π] Que vaut sa somme ?converge-t-elle uniformément ?

Enoncés

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02883 ][correction]
Soitαun réel non entier.
a) En utilisant la fonction2π-périodique coïncidant avecx7→cos(αx)sur[−π π],
calculer
n
1 + 2α2+∞1)
Xα(2−−n2
n=1
b) En déduire

c) Ici0< α <1. Montrer qu

+∞(−1)n
Xn2
n=1
e
Z0+∞1tα+−1tdtnis=απ
π

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02884 ][correction]
Soientα∈RZetfαl’unique fonction2π-périodique deRdansRtelle que pour
toutx∈[−π π],
fα(x) = cos(αx)
a) Calculer les coefficients de Fourier defα.
b) Montrer que
απ1 + 2α2+X∞(−1)n−1
=
sin(απ)n=1n2−α2
c) Si0< α <1, montrer que

Z+∞tα−1π
dt=
01 +tsin(απ)

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02885 ][correction]
Soita >0,xréel. On pose

+∞1
f(x) =n=X−∞a2+ (x−2nπ)2

a) Montrer quefest définie surRet étudier sa parité.
b) Montrer quefest développable en série de Fourier.
c) Calculer, en utilisant un logiciel de calcul formel, l’intégrale
Z−+∞∞b2cso+tt2dt

d) En déduire les coefficients de Fourier def.
e) Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

Exercice 18[ 03227 ][correction]
Soitf:R→C,2π-périodique, impaire et vérifiant

a) Calculer

0< x < π⇒f(x) =π2−x

+∞sin( )
S(x) =Xnxn
n=1

b) Soitg:R→C,2π-périodique, impaire, continue et définie par

Démontrer

c) Que vaut

gest affine sur[01]et∀x∈[1 π] g(x) =S(x)

s
n=+X∞1sin2 +∞innn
nn=X
n=1

n
+X∞sin24n?
n=1

Exercice 19CCP PSI[ 03811 ][correction]
Former le développement en série de Fourier de la fonction2π-périodique donnée
par
f(t) =|sint|

en précisant la nature de la convergence de cette série.

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Enoncés

Exercice 20Centrale PC[ 03617 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2π-périodique etklipschitzienne. Pourn∈Z, on pose
cn(f2=1)πZ20πf(t)e−intdt

a) Pour touth∈R, on définit la fonction

fh:R→C x7→f(x+h)−f(x)

Calculercn(fh)pour toutn∈Z.
b) En déduire que
∈XZsin2n2h|cn(f)|26(k4h)2
n
c) En utilisant la concavité de la fonction sinus, montrer que
Xn2|cn(f)|2
n∈Z

converge.
d) Que peut-on en conclure ?
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 21[ 02510 ][correction]
On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(t) sint+|sint|
=
2

a) Préciser le mode de convergence de la série de Fourier def.
b) En déduire
+∞+∞1
nX=14n21−1etnX=1(4n2−1)2

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