Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Noyau de Poisson

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Noyau de Poisson

Exercice 1[ 03093 ][correction]
[Noyau de Poisson]
Soientr∈[01[etθ∈R.
a) Calculer
+∞
Xeinθr|n|
n=−∞
b) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction

1
fr:t7→1−2rcost+r2

Exercice 2[ 00963 ][correction]
a) Soitx∈]0 π[. Former le développement en série entière en 0 de

1−t2
t7→2
1−2tcosx+t

b) En déduire le développement en série de Fourier de

pourα∈]−π2 π2[.

cosα
x7→
1−sinαcosx

Exercice 3[ 03102 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2π-périodique et continue de coefficients de Fourier
exponentielscn,n∈Z.
a) Soitr∈]01[. Déterminer une fonctiongr:R→Cvérifiant
+∞1Z20πf(t)gr(t) dt
Xr|n|cn=2π
n=−∞

b) Montrer que la fonctiongrest à valeurs réelles positives.
c) On suppose
∀n∈Z cn∈R+
Montrer que la série de Fourier defconverge. Que vaut sa somme ?

Enoncés

1

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02887 ][correction]
Soientr∈]01[etEl’espace des fonctions continues2π-périodiques deRdansC.
a) Montrer qu’il existe une fonctionPr∈Etelle que : pour toutf∈Eetx∈R,
π
n∈XZr|n|cn(f)einx12=πZ−π
f(t)Pr(x−t) dt

b) Calculer

c) Calculer

Z−ππPr(t) dt

rl→i1mXr|n|cn(f)einx
−
n∈Z

Exercice 5[ 03328 ][correction]
Pourr∈]01[, on définit la fonctionk:R→Rpar

+∞
k(x) = 1 + 2Xrpcos(px)
p=1

a) Montrer que la fonctionkest définie et continue surR.
On noteEl’espace des fonctions continues2π-périodique. Pourf∈E, on pose
F(x21=)πZ02πk(x−t)f(t) dt

b) ExprimerF(x)à l’aide des coefficients de Fourier def.
En déduire queFest élément deEet exprimer ses coefficients de Fourier en
fonction de ceux def.

Exercice 6Centrale MP[ 03742 ][correction]
On note, pourk∈ {01},Skl’ensemble des fonctions continues surR,
2π-périodiques, à valeurs complexes telles quePnkcn(f)converge (où
n∈Z
(cn(f))n∈Zla suite des coefficients de Fourier dedésigne f).
On considèrefune fonction deS1,run réel tel que0< r <1et on définirfrpar
∀x∈R,fr(x) =Xcn(f)r|n|einx
n∈Z

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a) Calculer, pourx∈R,

et en déduire que

+∞
Xrnsin(nx)
n=1

+X∞rncos(nx)=−nl11−2rcos(x) +r2
n2
n=1

b) On pose
r2
Kr(t) =−21nl1−2r2(csot) +
Montrer qu’il existe une unique fonctionudansS0telle que, pour
Zπ

Kr(x−t)u(t) dt=fr(x)
−π

toutx∈R

On déterminera les coefficients de Fourier deuen fonction de ceux defet on
vérifiera queuest indépendante der.
c) Vérifier que pourt∈]0 π[,
n1−2r2oc(st) +r26ln 2−2 ln|
l sint|

d) En déduire que
1−Z−ππ(x−t)u
limKr
r→

(t) dt=−12Z−ππln (1−cos(x−t))u(t) dt

e) Pourg∈S0, on définitϕ(g)par
∀x∈R,ϕ(g)(x) =Zπln (1−cos(x−t))g(t) dt
−π

Montrer queϕest un isomorphisme deS0surS1.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a) Considérons la fonction

3

Exercice 1 :[énoncé]+∞+∞
a) On agr:t7→Xr|n|eint= 1 +Xrn(eint+ e−int)
n n n1 1 1−r2n=−∞n=1
k=X−eikθr|k|=−1+k=X0eikθrk+kX=0e−ikθrnk−→−−+−∞→1−reiθ+1−re−iθ−1 = 1−2rcosnPθou+israq2eilrésaleteutpemenParrnitesuvnocgersnédtcoinfilasérge,efonriedc,einfiédneibtseteenution2isπripé-astngrconverge
nrm odique.
b)ParcequiprécèdedDeegpul,sapltsercocnn(vge)rg=enrc|en|uriedeFornorm.ffiaturemr,elaepnocieffitsenelqucoes
+∞|n|eintOn arsoralson
fr(t) =X1r−r2
n=−∞
+∞
Puisque le iern1πcn(f)cn(gr) =Xcnr|n|
s sér sn>P11−r2etn>P11r−−rn2convergent, on peut affirmer que2πZ02f(t)gr(t) dt=n=+X∞−∞n=−∞
l’écriture précédente est le développement en série de Fourier defr.
On en déduit le développement en série de Fourier trigonométrique

fr(t 1 1) =+∞2ncos(nt)
−2+X1−rr2
r
n=1

Exercice 2 :[énoncé]
a)1−2t1c−ost2x+t2=−1 +1−t1eix+1−te1−ixdonc1−2tc1−ost2x+t2= 1 + 2+P∞1cos(nx)tn
n=
pour|t|<1.
2
b)cosα=+11−tt2etsinα=21+tt2avect= tanα2∈]−11[donc

cosα1−t2
=
1−sinαcosx1−2tcosx+t2

puis
+∞
1−nisocsααcosx= 1 + 2Xcos(nx) tannα
2
n=1
pourx∈]0 π[.
Par parité cette égalité vaut aussi pourx∈]−π0[. De plus par convergence
normale de la série et donc continuité des fonctions engagées cette égalité vaut
encore sur[−π π]puis surRpar périodicité.
Enfin la convergence normale de la série de fonctions permet aussi d’assurer qu’on
a bien affaire au développement en série de Fourier recherché.

b) Par sommation géométrique

+∞+∞+∞
gr(t) =Xr|n|e−int=X(re−it)n+X(reit)n1=−21rc−osrt2+r2
n=−∞n=0n=1

Il est alors immédiat d’affirmer quegrest à valeurs réelles positives.
c) On a
1
2πZ20πf(t)gr(t) dt621πZ02πkfk∞gr(t) dt=kfk∞c0(g) =kfk∞
La sériePcnune série à termes positifs. Pour toutest N∈N,

N N
Xcn= lri→m1Xcnrn
n=0n=0

Or
N+∞
Xcnrn6Xcnr|n|6kfk∞
n=0n=−∞
donc
N
Xcn6kfk∞
n=0
Puisque les sommes partielles de la sériePcnsont majorées et puisque celle-ci est
à termes positifs, on peut affirmer qu’elle converge. Il en est de mme pour la série
Pc−n.

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Corrections

Il est alors facile d’établir la convergence normale de la série de Fourier defet
donc sa convergence. De plus, lorsqu’une série de Fourier converge normalement,
elle converge aussi en norme quadratique et alors sa limite ne peut que la fonction
développée.

Exercice 4 :[énoncé]
a) On a
Xr|n|cn(f)einxf(t)r|n|ein(x−t)dt
=21πn∈XZZπ
n∈Z−π
La série des intégrales des valeurs absolues converge grâce au terme géométrique
r|n|, ceci permet d’échanger somme et intégrale afin d’affirmer
Xr|n|c
n(f)einx21=πZπf(t)Pr(x−t) dt
n∈Z−π

avec

Pr(u) =Xr|n|einu
n∈Z

On a
1 1−2
Pr(u) = 1−1rei+1−r−1 = 1−2rcosur+r2
ue−iu
doncPr∈E.
b) En permutant à nouveau somme et intégrale,R−ππPr(t) dt= 2πcar
Rπeintdt= 2πδ0n.
−π
c) Par translation et2π-périodicité,
nX∈Zr|n|cn(f)einx=12πZ−ππf(x−t)Pr(t) dt

donc

Xr|n|cn(f)einx−f(x)=12πZ−π(f(x−t)−f(x))Pr(t) dt
n∈Zπ

Pourε >0, l’uniforme continuité defsur[−π π]assure l’existence d’unδ >0
vérifiant :
|x−y|6δ⇒ |f(x)−f(y)|6ε

On a alors

δ
Z(f(x−t)−f(x))Pr(t) dt6εZ−δδPr(t) dt6ε <