Sujet : Analyse, Séries numériques, Calculs de sommes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calculs de sommes

Exercice 1[ 03633 ][correction]
Existence et calcul de
n+X=∞2ln1−12
n

Exercice 2[ 01046 ][correction]
Existence et calcul de

+∞1
n=X1n(n+ 1)(2

Exercice 3[ 01047 ][correction]
+∞
On donnePk12=π62. Calculer
k=1

n+ 1)

+∞1
Xk2
k=1(k+ 1)2

après en avoir justifier l’existence.

Exercice 4[ 01048 ][correction]
Nature puis somme de
X11
n>1n(n+ )(n+ 2)

Exercice 5[ 01049 ][correction]
Après en avoir justifié l’existence, calculer

+∞1π2
=
n+X=∞0(2n+1)12sachantn=X1n26

Enoncés

Exercice 6[ 01050 ][correction]
+∞
SachantPn1!= e, calculer
n=0

+
X∞nn!+1et+X∞n2n−2!
n=0n=0

Exercice 7[ 01051 ][correction]
Soitx∈]−11[. Calculer

+∞
Xkxk
k=0

Exercice 8[ 01052 ][correction]
Soitα >0. Montrer
+X∞(k−1)+αk=Z101xα+−x1dx
k=0

Exercice 9[ 01053 ][correction]
On pose
un=Z01xnsin(πx) dx
Montrer que la sériePunconverge et que sa somme vaut
πsintdt
Z0t

Exercice 10[ 01054 ][correction]
On rappelle l’existence d’une constanteγtelle qu’on ait

n
Xk ln1 =n+γ+o(1)
k=1

a) Calculer la somme de la série de terme généralun= (−1)n−1n.
b) Mme question avecun= 1nsin6 [3]= 0etun=−2nsinon.

1

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Exercice 11[ 01055 ][correction]
Justifier et calculer
+∞
nX=1n(2n1−1)

Exercice 12[ 01057 ][correction]
+∞p exprimerM uisap
Pourp∈N, on poseap=P2nn. ontrer queapexiste p
n=0
fonction dea0     ap−1. En déduire queap∈N.

Exercice 13[ 01058 ][correction]
Calculer
+∞
X(−1)nln(1 + 1n)
n=1
Indice : utiliser la formule de Stirling.

Exercice 14[ 02354 ][correction]
Existence et calcul de

+∞5n+ 6
a)Xn
n=1(n+ 1)(n+ 2)

b)n+=X∞21 + (−n1)n
ln

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02801 ][correction]
SoientαdansR?,aetbdansRN. On pose

−a
u0=αet∀n∈N,un+1=ubnn
n−

en

Etudier la nature de la série de terme généralunet calculer éventuellement sa
somme.

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02804 ][correction]
Convergence puis calcul de

+X∞2+ 22+1∙ ∙ ∙+n2
1
n=1

Enoncés

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02805 ][correction]
Calculer
+∞(−1)n
n=X04n+ 1

Exercice 18X MP[ 02964 ][correction]
Calculer
n∞X=04n+11−4n4+2+3n4+3+1n+14

Exercice 19[ 02426 ][correction]
Calculer pourx∈]−11[
+∞xn
n=X1(1−xn)(1−xn+1)

Exercice 20X MP[ 01338 ][correction]
Calculer
+X∞1

1
n=0(4n+ )(4n+ 3)

Exercice 21[ 03448 ][correction]
Existence et valeur pourm>1de

+∞1
Sm=nX=1n(n+ 1)  (n+m)

Exercice 22[ 03622 ][correction]
Calculer la somme de la série de terme général

1
un= arctann2+ 3n+ 3

2

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Exercice 23CCP PSI[ 03796 ][correction]
Convergence et somme de la sériePk21−1.
k>2
Convergence et somme de
XE(√k+ 1k)−E(√k)
k>2

oùEdésigne la fonction partie entière.

Enoncés

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
n=XN2ln1−1=N
n2X(ln(n−1) + ln(n+ 1)−2 lnn)
n=2
donc

Nl1 1=nN=X2(ln(n−1)−lnn) +nXN=2(ln(n+ 1)−lnn)
Xn−n2
n=2

Après télescopage

N
Xln1−n12= lnNN+ 1−ln 2→ −ln 2
n=2

On en déduit que la série converge et
1
n+X=∞ln1−2=−ln 2
n
2

Exercice 2 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

Sachant

on obtient

1 1 1 4
n(n+ 1)(2n+ 1) =n+n+ 1−2n+ 1

NX2n1=12NX+11n−XN12n
n=1+n=2n=1

N1N N12N+11
X−
n=1n(n+ 1)(2n+ 1) =nX=1n+3n=X1n+ 1 4nX=2n

Or on sait que

XN1 = lnN+γ+o(1)
n
n=1

Corrections

donc on conclut que la série converge et

n=+X∞1n(n(21)+1n =+ 1) 3−4 ln 2

Exercice 3 :[énoncé]
k2(k1)1+2∼k14donc la série converge.
k2(k1+)12=k12+(k+11)2+k2+1−2kdonc
kPN=1k2(k+)112=PNk12+NP+1k12−1 + 2NP1+1k−2PNk1=π23
−
3.
k=1k=1k=2k=1

Exercice 4 :[énoncé]

1 1
∼
n(n+ 1)(n+ 2)n3
donc la série converge
Par décomposition en éléments simples

1 1 +2 1 12
=−
n(n+ 1)(n+ 2)n n+ 1n+ 2

puis après télescopage

+∞1
=
nX=1n(n1)(1+n 4+ 2)

Exercice 5 :[énoncé]
+∞+∞+∞
nP1P)1+12+nP=1 (2n)12doncn=+P∞0 (2n1+1)2=34n=+P∞1n12=π82.
n2=2n
=1n=0 (

Exercice 6 :[énoncé]
D’une part
+∞1
n+=X∞0nn=!1+n=+X∞1(n−+)!11Xn 2e! =
n=0

D’autre part

n−! =X
+X∞n22n+=∞0n(n−1)n+!n−=2n+X=∞2(n−1)2+!+X∞(n−11)!−2+X∞n1!0=
n=0n=1n=0

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Tout d’abord la série converge en vertu de la règle de d’Alembert (en traitant
x= 0séparément)
Puisque
k=nX0kxk=xddxkXn=0xk!=x11−−xnx+10→(1−xx)2
on obtient
+∞
x
=
k=X0kxk(1−x)2

Exercice 8 :[énoncé]
Par sommation géométrique

−α−1+
1xα+−x1=nkX0( 1)kxk+1xn++αx
=

donc
Z101xα+−1xdx=k=Xn0Z0(−1)kxk+α−1dx+Z01xn++k=0k+αn
11αxdx=Xn(−1)k+ε
avec
06εn6Z1xn+αdx=n1+α−1→0
0

d’où la conclusion.

Exercice 9 :[énoncé]
Par sommation géométrique
n11
Xsin(πx) dx
k=0uk=Z01−−xnx+1

Posons
I=Z01is(n1−xxπd)x
Cette intégrale est bien définie car la fonction intégrée se prolonge par continuité
en 1.
nkX=0uk−I6Z011is(n−xxπ)xn+1dx6Mn+ 1


avec

M= sup sin(πx)
[01]1−x
n
On conclut quePuk→Ipuis par changement de variable
k=0
Xuk→t
kn=0Z0πsitntd

Exercice 10 :[énoncé]
a) On a

−1)k−1 2n
2Xn=(Xk1−2Xn21k= ln 2n+γ+o(1)−lnn−γ= ln 2 +o(1)
k
k=1k=1k=1

et
2nX+1(−1k)k−1=2Xn(−1k)k−1+o
(1)
k=1k=1
donc la série converge et est de somme égale àln 2.
b) On a

3n n
3Xnun=X1k−3X31k 3= lnn+γ+o(1)−lnn−γ 3 += lno(1)
k=1k=1k=1
et
3n+1 3n3n+2 3n
Xun=Xun+o(1)→ln 3etXun=Xun+o(1)→ln 3
k=1k=1k=1k=1
donc la série converge et est de somme égale àln 3.

Exercice 11 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
NX2n1−1) =nXN=1(2n2−1)−nXN=11n=n2X=N12m−2NnX=1n1 = 2n=2NXN+1n1
n=1n(

Or

2N
X1n=2XN1n−NX1n= ln(2N) +γ+o(1)−lnN−γ 2 += lno(1)
n=N+1n=1n=1

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puis

+∞
X2n1=
n=1n(− ln 21) 2

Exercice 12 :[énoncé]
apen vertu de la règle de d’Alembert.existe
ap=n+P=∞(0n2n++1)1p=21ap+1p!ap−1+∙ ∙ ∙+pp!a0!donc
ap=1p!ap−1+∙ ∙ ∙+pp!a0et par un récurrence aiséeap∈N.

Exercice 13 :[énoncé]

Corrections

La somme existe en vertu du critère de Leibniz.
Pour la calculer, il su&