Sujet : Analyse, Topologie, Densité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Densité

Exercice 1[ 01130 ][correction]
Montrer que GLn(R)est dense dansMn(R).
On pourra considérer, pourA∈ Mn(R), les matrices de la formeA−λIn.

Exercice 2[ 01131 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé etFun sous-espace vectoriel deE.
¯
a) Montrer queFest un sous-espace vectoriel deE.
b) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense.

Enoncés

Exercice 3[ 01132 ][correction]
SoientUetVdeux ouverts denses d’un espace vectoriel norméE.
a) Etablir queU∩Vest encore un ouvert dense deE.
b) En déduire que la réunion de deux fermés d’intérieurs vides est aussi d’intérieur
vide.

Exercice 4[ 03058 ][correction]
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles telles que

un→+∞,vn→+∞etun+1−un→0

a) Soientε >0etn0∈Ntel que pour toutn>n0,|un+1−un|6ε.
Montrer que pour touta>un0, il existen>n0tel que|un−a|6ε.
b) En déduire que{un−vpn p∈N}est dense dansR.
c) Montrer que l’ensemble{cos(lnn)n∈N?}est dense dans[−11].

Exercice 5X MP[ 03017 ][correction]
Montrer que{m−lnn(m n)∈Z×N?}est dense dansR.

Exercice 6[ 01133 ][correction]
SoitHun sous-groupe de(R+)non réduit à{0}.
a) Justifier l’existence de
a= inf{x∈Hx >0}

b) On supposea >0. Etablira∈HpuisH=aZ.
c) On supposea= 0. Etablir queHest dense dansR.

Exercice 7[ 00023 ][correction]
a) Montrer que{cos(n)n∈N}est dense dans[−11].
b) Montrer que{cos(lnn)n∈N?}est dense dans[−11].

Exercice 8[ 01134 ][correction]
On noteR(N)l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
a) Montrer queR(N)est dense dans`1(R).
b)R(N)est-il dense dans`∞(R)?

Exercice 9[ 01135 ][correction]
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables deMn(C)est dense dans
Mn(C).

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02779 ][correction]
Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé(Ekk)est dense ou fermé
dansE.

1

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02780 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctions réelles définies et continues sur[0+∞[et
dont le carré est intégrable. On admet queEest un espace vectoriel réel. On le
munit de la norme
sZ+0∞f2(t) dt
kk2:f7→
On noteE0l’ensemble desf∈Etelles quefest nulle hors d’un certain segment.
On noteFl’ensemble des fonctions deEdu typex7→P(e−x)e−x22oùP
parcourtR[X]. Montrer queE0est dense dansEpuis queFest dense dansE.

Exercice 12X MP[ 02944 ][correction]
SoitAune partie convexe et partout dense d’un espace euclidienE.
Montrer queA=E.

Exercice 13[ 03018 ][correction]
SoitAune partie non vide deRvérifiant

∀a b∈A,a2+b∈A
Montrer queAest dense dans l’intervalle]infAsupA[.

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Exercice 14X MP[ 03020 ][correction]
SoitAune partie non vide deR+?vérifiant
∀(a b)∈A2√ab∈A

Montrer queA∩(R\Q)est dense dans]infAsupA[.

Exercice 15[ 03059 ][correction]
SoientE=C([01]R)etϕ∈E. On noteNϕ:E→Rl’application définie par

Nϕ(f) =kf ϕk∞

Enoncés

Montrer queNϕest une norme surEsi, et seulement si,ϕ−1(R?)est dense dans
[01].

Exercice 16[ 03402 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On suppose
ustri e,un→+∞etun+1→1
(n)ctement croissantun

Montrer que l’ensemble

um
A=unm > n
est une partie dense dans l’intervalle[1+∞[



Exercice 17[ 03649 ][correction]
SoientAetBdeux parties denses d’un espace norméE.
On suppose la partieAouverte, montrer queA∩Best une partie dense.

Exercice 18[ 00012 ][correction]
Etablir queSn++(R)est dense dansSn+(R).

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
L’applicationλ7→det(A−λIn)est polynomiale non nulle enλdonc possède un
nombre fini de racine.
Par suite :∀A∈ Mn(R)∀α >0 B(A α)∩GLn(R)6=∅.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Soientu v∈F¯etλ µ∈R. Il existe(un)(vn)∈FNtelles queun→uetA.
¯
Commeλun+µvn→λu+µvetλun+µvn∈Fon aλu+µv∈F.
b) SoitHun hyperplan deE.
¯
SiH=HalorsHest fermé.
¯
Sinon alorsHest un sous-espace vectoriel deE, contenantHet distinct deH.
PuisqueHest un hyperplan∃a ∈Htel queH⊕Vect(a) =E.
¯
Soitx∈H\H. On peut écrirex=h+λaavech∈Hetλ6= 0. Par opération
¯ ¯ ¯ ¯
a∈Het puisqueH⊂Hon obtientE⊂H. FinalementH=Eet doncHest
dense.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Pour touta∈Eet toutε >0,B(a ε)∩U6=∅carUest dense.
Soitx∈B(a ε)∩U. PuisqueB(a ε)∩Uest ouvert, il existeα >0tel que
B(x α)⊂B(a ε)∩Uet puisqueVest denseB(x α)∩V6=∅. Par suite

B(a ε)∩(U∩V)6=∅

b) SoientFetGdeux fermés d’intérieurs vides.

avecCEF

puis

CE(F∪G)◦=CE(F∪G) =CEF∩CEG

etCEGouverts denses donc

Exercice 4 :[énoncé]
a) Posons

CEF∩CEG=E

(F∪G)◦=∅

A={n>n0a>un}

3

Aest une partie deN, non vide carn0∈Aet majorée carun→+∞.
La partieAadmet donc un plus grand élémentn>n0et pour celui-ci
un6a < un+1.
Par suite|un−a|=|un+1−un|6εcarn>n0.
b) Soientx∈Retε >0.
Puisqueun+1−un→0, il existen0∈Ntel que pour toutn>n0,|un+1−un|6ε.
Puisquevn→+∞, il existep∈Ntel quex+vp>un0.
Par l’étude précédente, il existen∈Ntel que|un−(x+vp)|6εi.e.
|(un−vp)−x|6ε.
Par suite l’ensemble{un−vpn p∈N}est dense dansR.
c) Remarquons que

A={cos(lnn)n∈N?}={cos (ln(n+ 1)−2pπ)n p∈N}

Posonsun= ln(n+ 1)etvn= 2nπ. Les hypothèses précédentes sont réunies et
donc
B={un−vpn p∈N}={ln(n+ 1)−2pπn p∈N}
est dense dansR.
Soientx∈[−11]etθ= arccosx.
Par densité, il existe une suite(θn)d’éléments deBconvergeant versθet, par
continuité de la fonction cosinus, la suite(xn)de terme généralxn= cos(θn)
converge versx= cosθ.
Or cette suite(xn)est une suite d’éléments decos(B) =Aet doncAest dense
dans[−11].

Exercice 5 :[énoncé]
Soientx∈Retε >0.
Il existen0∈N?tel que1n06ε.
Poura>lnn0etn=E(ea)>n0, on alnn6a6ln(n+ 1).
On en déduit

|a−lnn|6ln(n+ 1)−lnn= ln(1 + 1n)61n61n06ε

Puisquem−x−m−−→−+−∞→+∞, pourmassez grand, on aa=m−x>lnn0et donc
il existen∈N?vérifiant|a−lnn|6εi.e.

|m−lnn−x|6ε

Par suite{m−lnn(m n)∈Z×N?}est dense dansR.

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a) Il existeh∈Htel queh6= 0carHn’est pas réduit à{0}.
Sih >0alorsh∈ {x∈Hx >0}. Sih <0alors−h∈ {x∈Hx >0}.
Dans les deux cas{x∈Hx >0} 6=∅. De plus{x∈Hx >0} ⊂Ret
{x∈Hx >0}est minoré par 0 donca= inf{x∈Hx >0}existe dansR.
b) On supposea >0.
Sia∈ Halors il existex y∈Htel quea < x < y <2aet alorsy−xest élément
deHet vérifie0< y−x < ace qui contredit la définition dea. C’est absurde.