Sujet : Géométrie, Etude d'un courbe en coordonnées polaires
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Etude d’une courbe en coordonnées polaires
On munit le planℝ2de son repère orthonormé direct canonique=(;,) .
Pourθ∈ℝon noteθ=cosθ+sinθetθ= −sinθ+cosθles vecteurs de la base polaire d’angleθ.
SoitΓla courbe d’équation polaireρ=ρ(θ)=cos3(θ3) avecθ∈ℝi.e. la courbe de point courant(θ)
défini par(θ)=ρ(θ)θ.
1.a Comparer(θ) et(θ+3π) .
1.b
1.c
1.d
2.a
2.b
3.a
3.b
Comparer(θ) et(θ) .
−
On limite désormais l’étude deΓàθ∈0,3π2
Dresser le tableau de variation deθ֏ρ(θ)=cos3(θ 0,33) surπ2 .
Donner l’allure de la courbeΓautour du point de paramètreθ=3π2 .
On y précisera le sens de parcours desθcroissants.
Obtenir une détermination angulaireα(θ tout point de paramètre) enθ∈0,3π2 .
Calculer la courbure deΓen tout point de paramètreθ∈0,3π2
Tracer l’intégralité de la courbeΓen prenant une unité égale à 5 cm.
On précisera les tangentes aux points de paramètresθ=0,π2 etπ.
Calculer la longueur de la courbeΓ.
