Sujet : Géométrie, Etude de la cardioïde

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

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Etude métrique et construction de la cardioïde

Le plan géométrique euclidien est muni d’un repère orthonormé direct=(;,) .     Pour toutθ∈ℝ, on noteθ=cosθ.+sinθ.etθ= −sinθ.+cosθ.les vecteurs polaires d’angleθ. L’objet de ce problème est l’étude de la courbeΓdéfinie par l’équation polaireρ=1+cosθ, c’est à dire la  courbe de point courant(θ) déterminé par(θ)=ρ(θ)θavecρ(θ)=1+cosθ. 1.a Comparer les points(θ) et(θ+2π) d’une part et(θ) et(−θ) d’autre part. Pour étudierΓ, à quel intervalle peut-on limiter l’étude de la fonctionρ:θ֏1+cosθ?

1.b

1.c 1.d

2.a 2.b 2.c 3.

3.a

3.b

Dresser le tableau de variation de la fonctionρ:θ֏1+cosθsur 0,π.

Préciser, pour les paramètresθ=0 ,θ=π,θ=π2 , le point et la tangente à la courbe en ce point. Donner l'allure de la courbeΓ. Calculer la longueur de la courbeΓ. Calculer le rayon de courbure en tout point régulier deΓ. Calculer l'aire du domaine borné délimité parΓ. On notele cercle de centre 0)(1 2, passant par et. On rappelle que l’équation polaire de cercle estρ=cosθ.

On note(θ) le milieu du segment d’extrémités(θ) et(θ+π) . Justifier que(θ)∈et calculer la longueur(θ)(θ) .

On note(θ point du cercle) lediamétralement opposé au point(θ) .  Exprimer(θ) en fonction deθet du vecteurθ.

3.c A quelles conditions particulières a-t-on(θ)=(θ) ? On suppose désormais ce cas exclu. 3.d Montrer que la droite joignant les points(θ) et(θ orthogonale à la tangente à) estΓen(θ) . 3.e Des informations précédentes, déterminer un procédé permettant, à l’aide du cercle, de construire les points(θ les tangentes à) etΓen ces points.

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