Sujet : Géométrie, Lemniscate de Bernoulli
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Lemniscate de Bernoulli
On suppose le plan muni d’un repère orthonormé direct (;,) .
Pourθ∈ℝ, on noteθ=cosθ.+sinθ.etθ= −sinθ.+cosθ..
On étudie la courbeΓformé des pointsdu plan tels que.′=1 avec te 01′0− .1
La courbeΓest appelée lemniscate de Bernoulli de foyerset′.
1.a Justifier queΓ (est symétrique par rapport aux axes) et () .
1.b
1.c
2.
2.a
2.b
2.c
3.
3.a
3.b
3.c
3.d
3.e
4.
4.a
4.b
4.c
Déterminer l’intersection deΓ (avec les axes) et () .
Déterminer un réeltel que la courbeΓsoit incluse dans le disque de centreet de rayon.
Afin de représenterΓ, nous allons en déterminer une équation polaire.
Soitun point du plan dont (ρ,θ un système de coordonnées polaires.) est
Exprimer2et de même′2en fonction deρetθ.
Justifier que∈ Γssiρ4=2ρ2cos 2θ.
En déduire queρ=
2 cos 2θest une équation polaire deΓ.
On note(θ point courant de l’arc) leΓd’équation polaireρ=2 cos 2θi.e. le point déterminé par la
relation vectorielle(θ)=ρ(θ)θ.
Préciser le domaine de définition de l’applicationθ֏(θ) .
Comparer(θ) et(θ+π) d’une part,(θ) et(−θ) d’autre part.
Dresser le tableau de variation de l’applicationθ֏ρ(θ)=2 cos 2θsur 0,π4 .
Préciser l’allure deΓau voisinage des points de paramètresθ=0 etθ=π y figurant le sens de4 en
parcours desθcroissants.
Pour quelsθ∈0,π4 , la courbeΓadmet-elle en(θ) une tangente horizontale ?
ReprésenterΓen prenant une unité égale à 4cm.
On note,′les cercles de centres,′et de rayon 2 .
Soit(θ) et(θ) les points déterminés par(θ)(θ)=2θet(θ)(θ)= −2θde sorte qu’on ait,
entre autres,(θ)(θ)=2 et(θ)= (θ),(θ Montrer que) .(θ)∈.
On justifie, par des calculs semblables mais non demandés, que(θ)∈′.
Préciser la portion dedécrite par le point(θ) pourθ∈0,π4 .
Déduire de ce qui précède comment construire les points de paramètres(θ)
(avecθ∈
0,π4 ).
