Sujet : Géométrie, Triangles équilatéraux inscrits sur une hyperbole

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Coniques. Géométrie du plan. Polynômes.

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Triangle équilatéraux inscrits sur une hyperbole

euclidien rapport à un repère orthonormédésigne le plan affine ,,,désigne un réel strictement

positif. On note (, couple de coordonnées d’un point) lede. Soit (γ) l’hyperbole équilatère d’équation cartésienne=. 1. On considère trois points,,de (γ) , deux à deux distincts, dont les abscisses sont notées,, respectivement. 1.a Déterminer les coordonnées (α,β centre de gravité de) dudu triangle.

1.b

2. 2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

Déterminer les coordonnées (λ, l’orthocentre) dedu triangle. Vérifier que (appartient àγ) . On suppose, dans cette question, queest un triangle équilatéral. Que peut-on dire deet? Montrer que,,sont les racines du polynôme() avec()=3−3λ2−3λ22+λ2. On appelle sommets de (γ ( points d’intersection de) lesγ) avec la droite d’équation=. On suppose que (n’est pas l’un des sommets deγ) . Montrer que l’intersection du cercle circonscrit au triangleavec (γ) contient un pointdistincts de,,. Préciser les coordonnées de.

Soit ) 3un réel 32+2. non nul et( polynôme défini par :) le(=3−2−2   Déterminer le signe du produit(0)() . En déduire que( trois racines réelles deux à deux) admet distinctes et non nulles notées1,2,3. Soit1,2,3les points de (γ) d’abscisses respectives1,2,3. Démontrer que le triangle123est équilatéral. Donner une construction géométrique permettant d’obtenir tous les triangles équilatéraux dont les sommets appartiennent à (γ) .

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