Monotonicity Conditions in Convergence of Trigonometric Series , livre ebook

This book provides a comprehensive survey and investigation into the monotonicity conditions applied to the coefficients of trigonometric (or Fourier) series, exploring how these conditions influence various convergence properties, along with related topics on positivity and monotonicity. Highlighting recent breakthroughs, the book offers a systematic review of the history and development of this area, focusing on current ideas, methods, and techniques to equip readers for future advancements.

Designed to be both systematic and original, the book serves as an accessible resource for mathematicians and students in analysis. With its self-contained approach, it requires only a basic knowledge of analysis, making it suitable as an advanced textbook for graduate students or a reference for researchers interested in this field.

Contents

Preface

Acknowledgements

Chapter 1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Symbols and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Sets of Monotone Sequence and Various Generalizations. . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 History and Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Relationships among Sets of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Notes and Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.4.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chapter 2 Uniform Convergence of Trigonometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1 Classic Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Development: MVBV Concept in Positive Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Further Discussion: In Positive Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Breakthrough: MVBV Concept in Real Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Notes and Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Chapter 3 L1-Convergence of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 History and Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Further Development: In Positive Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Mean Value Bounded Variation: In Real Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4 L1-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 Convexity of Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6 Notes and Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

3.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Chapter 4 Lp-Integrability of Trigonometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1 Lp-Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 Lp-Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Lp-Integrability for Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4 A Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5 Notes and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chapter 5 Fourier Coefficients and Best Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

5.1 Classical Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

5.2 A Generalization to Strong Mean Value Bounded Variation . . . . . . . . . . . 124

5.3 Approximation by Fourier Sums with Strong Monotone Coefficients . . . 138

5.3.1 Strong Monotonicity and Fourier Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

5.3.2 Quasi-Geometric Monotone Conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

5.4 Notes and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Chapter 6 Integrability of Trigonometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.1 Weighted Integrability: In Positive Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2 Weighted Integrability: In Real Sense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3 Integrability of Sine Series and Logarithm Bounded Variation

Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.4 Logarithm Bounded Variation Conditions: In Real Sense . . . . . . . . . . . . . . 181

6.5 Integrability of Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

6.6 Notes and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Chapter 7 Other Classical Results in Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.1 Important Trigonometric Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.2 An Asymptotic Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.3 Strong Approximation and Related Embedding Theorems. . . . . . . . . . . . .218

7.4 Abel’s and Dirichlet’s Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.5 Notes and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Chapter 8 Trigonometric Series with General Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

8.1 Piecewise Bounded Variation Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.1.1 “Rarely Changing” Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

8.1.2 Piecewise Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.1.3 Piecewise Mean Value Bounded Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.2 No More Piecewise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8.3 Notes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249